1
Cuantificar la Incertidumbre: La Función Variable Aleatoria
MATH003Lesson 2
00:00
En esta sesión, pasamos de describir los resultados de forma cualitativa a un marco cuantitativo riguroso. Definimos una variable aleatoria no como una "variable" en el sentido algebraico, sino como una asignación determinista —una función— que transforma elementos del espacio muestral en la recta numérica real.

La Definición Funcional (Definición 2.1.1)

Una variable aleatoria $X$ es una función $X: S \to R^1$ que asigna un número real $X(s)$ a cada resultado posible $s$ en el espacio muestral $S$. Consulte la Figura 2.1.1 para la representación visual de este proceso.

La Función Indicadora ($I_A$)

Para conectar la teoría de conjuntos con la aritmética, definimos la función indicadora de un evento $A$:

$$I_A(s) = \begin{cases} 1 & s \in A \\ 0 & s \notin A \end{cases}$$

Esto transforma la ocurrencia de un evento en una señal numérica binaria.

Definir Distribuciones (Definición 2.2.1)

La "distribución" de $X$ es la colección de probabilidades $P(X \in B)$ para subconjuntos $B \subseteq R^1$. Estrictamente hablando, se requiere que $B$ sea un subconjunto de Borel, lo cual es una restricción técnica proveniente de la teoría de medidas. Sin embargo, cualquier subconjunto que podamos definir prácticamente es un subconjunto de Borel.

Límites y Continuidad de la Probabilidad

Para asegurar que nuestras funciones se comporten de manera predecible en contextos infinitos, dependemos de los axiomas establecidos en los Teoremas 1.3.4 y 1.6.1:

  • Aditividad Contable (1.7.1): $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum P(B_n)$, donde $B_n$ son versiones disjuntas de $A_n$.
  • Continuidad de la Probabilidad (1.7.2): Si una secuencia de eventos $\{A_n\} \nearrow A$, entonces $\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P(A)$.
Demostración del Teorema 1.3.4

Queremos demostrar que para cualquier secuencia de eventos $A_1, A_2, \dots$ (no necesariamente disjuntos):

$$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) \leq P(A_1) + P(A_2) + \cdots$$

Esto se conoce como la Desigualdad de Boole y es fundamental para acotar probabilidades en sistemas complejos.

🎯 Contexto Histórico
El término "variable aleatoria" fue elegido frente al "variable de oportunidad" por Joe Doob y William Feller mediante un lanzamiento de moneda a principios de la década de 1950. Aunque técnicamente es una función, el nombre "variable" se mantuvo como un artefacto histórico de este famoso lanzamiento.